京都大学理系2020年数学入試問題

[1]
 abは実数で、とする。zに関する方程式
・・・()
3つの相異なる解を持ち、それらは複素数平面上で、一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする。このとき、ab()3つの解を求めよ。
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[2] pを正の整数とする。αβxに関する方程式2つの解で、であるとする。
(1) すべての正の整数nに対し、は整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。
(2) 極限を求めよ。
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[3] kを正の実数とする。座標空間において、原点Oを中心とする半径1の球面上の4ABCDが次の関係式を満たしている。


このとき、kの値を求めよ。ただし、座標空間の点XYに対して、は、の内積を表す。
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[4] 正の整数aに対して、
(bcは整数でc3で割り切れない)
の形に書いたとき、と定める。例えば、である。
mnは整数で、次の条件を満たすとする。
(i)
(ii)
(iii) n
3で割り切れない。
このようなについて

とするとき、
の最大値を求めよ。また、の最大値を与えるようなをすべて求めよ。
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[5] 4個、横4個のマス目のそれぞれに1234の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。下図はこのような入れ方の1例である。
1234
3412
4123
2341
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[6] xyzを座標とする空間において、xz平面内の曲線
()

z軸のまわりに1回転させるとき、この曲線が通過した部分よりなる図形をSとする。このSをさらにx軸のまわりに1回転させるとき、Sが通過した部分よりなる立体をVとする。このとき、Vの体積を求めよ。
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