京大理系数学
'10
年
甲
[6]
座標空間内で、
O
,
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
,
G
を頂点に持つ立方体を考える。この立方体を対角線
OF
を軸にして回転して得られる回転体の体積を求めよ。
解答
同一趣旨の問題が慶大理工
98
年
[A3]
にも出題されています。
端点が回転軸上にある線分を回転させると円錐面になり、回転軸と交点をもたない直線を回転させると
双曲面
になることに注意してください。
右図
(
ア
)
のように、対角線
OF
に関して、
OA
と
OC
と
OD
の
3
辺,また、
FB
,
FE
,
FG
の
3
辺は回転対称な位置関係にあります。また、
AB
と
AE
は△
OAF
を含む平面に関して対称、
AE
と
DE
は△
OEF
を含む平面に関して対称、
DE
と
DG
は△
ODF
を含む平面に関して対称、
DG
と
CG
は△
OGF
を含む平面に関して対称、
CG
と
CB
は△
OCF
を含む平面に関して対称、
CB
と
AB
は△
OBF
を含む平面に関して対称です。
右図
(
イ
)(
ウ
)
に、対角線
OF
の方向から立方体を見た様子を示します。
OA
上の点を通り対角線
OF
に垂直な平面で立方体を切ると、右図
(
イ
)
黄色着色部のような正三角形になります。
OA
上の点が対角線
OF
から最も遠い点
(
のうちの
1
つ
)
です。
AB
上の点
P
を通り対角線
OF
に垂直な平面で立方体を切ると、右図
(
ウ
)
水色着色部のような六角形になります。
P
が対角線
OF
から最も遠い点です。
これより、対称性から、回転体を、
OA
,
AB
,
BF
を対角線
OF
を軸にして回転したものとして考えることができます。
OA
,
BF
を回転させると円錐ができ、
AB
を回転させると双曲面
(
の一部
)
ができ、この
3
つの部分に分けて体積を考えます。
対角線
OF
上の点では、
x
座標、
y
座標、
z
座標が等しくなります。以下、対角線
OF
に垂直な平面と対角線
OF
との交点を
H
とします。
H
の座標は
(
)
と表せます。
(i)
対角線
OF
に垂直な平面が頂点
A
を通るとき、
より、
(
内積
を参照
)
∴
このとき、
辺
OA
を対角線
OF
を軸にして回転して得られる回転体は、半径
の円を底面とし、高さが
の円錐で、その体積
は、
(ii)
辺
AB
上に点
P
(
)
をとり、対角線
OF
に垂直な平面が点
P
を通るとき、
より、
∴
,
より、
このとき、回転体をこの平面で切ったときにできる断面の円の半径は、
のとき
辺
AB
を回転して得られる回転体の体積
は、断面の円の面積を回転軸に沿って積分すると
(
定積分と体積
を参照
)
、
,
:
のとき
t
:
として、
置換積分
を行うと、
(iii)
辺
BF
を回転して得られる円錐の体積も
(i)
と同様に、
求める体積は、
......[
答
]
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