京大理系数学
'10
年
甲
[2]
四面体
ABCD
において
と
,
と
,
と
はそれぞれ垂直であるとする。このとき、頂点
A
,頂点
B
および辺
CD
の中点
M
の
3
点を通る平面は辺
CD
と直交することを示せ。
解答
空間ベクトルの問題ですが、無理に
1
次独立な
3
つのベクトルを持ち出さずとも、内積計算で平凡に解決します。
題意より、
・・・@
(
内積
を参照
)
目標は、頂点
A
,頂点
B
および辺
CD
の中点
M
の
3
点を通る平面を作る
1
次独立なベクトル
,
と、
が垂直であることを示すことです。
・・・A
・・・B
@より、
・・・C
・・・D
・・・E
C,D,Eより、
Aより、
∴
同様に、@より、
・・・F
・・・G
・・・H
F,G,Hより、
Bより、
∴
よって、頂点
A
,頂点
B
および辺
CD
の中点
M
の
3
点を通る平面は辺
CD
と直交します。
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