京大理系数学
'09
年
乙
[1]
xyz
空間で
O
,
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
,
G
を頂点とする直方体
OABC-DEFG
を考える。辺
AE
を
s
:
に内分する点を
P
,辺
CG
を
t
:
に内分する点を
Q
とおく。ただし
,
とする。
D
を通り、
O
,
P
,
Q
を含む平面に垂直な直線が線分
AC(
両端を含む
)
と交わるような
s
,
t
のみたす条件を求めよ。
解答
2
つの
ベクトル方程式
が指定範囲に解をもつ条件を考えます。
なお、途中で
2
つのベクトルの双方に垂直なベクトルを求める必要がありますが、これについては
外積
も参照してください。
より、
より、
,
双方に垂直なベクトルを
とすると、
(
内積
を参照
)
∴
よって、
D
を通り、
O
,
P
,
Q
を含む平面に垂直な直線のベクトル方程式:
・・・@
より、直線
AC
のベクトル方程式:
・・・A
線分
AC
上の点では
@とAが交点をもつとして、それぞれの
x
成分,
y
成分,
z
成分を等しいとおくと、
・・・B
・・・C
・・・D
Dより、
Cより、
Bより、
∴
・・・E
より、
・・・F
Eより、
ですが、
,
より、
,
∴
・・・G
FかつGより、
・・・H
EかつHが満たされれば、B,C,Dが
を満たす解をもち、直線@と線分Aが交点をもちます。
求める条件は、
,
......[
答
]
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