京都大学理系2009年数学入試問題

[1]
 次の各問にそれぞれ答えよ。
1 正の数aに対してxyz空間でOABCDEFGを頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。Dを通り、3つの頂点OEGを含む平面に垂直な直線が辺BC(両端を含む)と点Pで交わるとき、aの値とPの座標を求めよ。
2 白球と赤球の入った袋から2個の球を同時に取り出すゲームを考える。取り出した2球がともに白球ならば「成功」でゲームを終了し、そうでないときは「失敗」とし、取り出した2球に赤球を1個加えた3個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする。最初に白球が2個、赤球が1個袋に入っていたとき、回まで失敗しn回目に成功する確率を求めよ。ただしとする。
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[2] 平面上に三角形と点を、に対してが辺に関して対称になるようにとる。の面積がの面積の正の整数倍となるとき、の値を求めよ。
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[3] xyをみたす正の数で、不等式
をみたすとする。このときxyの組の範囲を座標平面上に図示せよ。
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[4] をみたす行列(abcdは実数)とし、正の整数nに対して
によりを定める。ならばすべてのnに対してであることを示せ。
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[5] pを素数、nを正の整数とするとき、pで何回割り切れるか。
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[6] 極方程式 ()で表される曲線の長さを求めよ。
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[1] xyz空間でOABCDEFGを頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。辺AEsに内分する点をP,辺CGtに内分する点をQとおく。ただしとする。Dを通り、OPQを含む平面に垂直な直線が線分AC(両端を含む)と交わるようなstのみたす条件を求めよ。
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[2] 平面上の鋭角三角形の内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、BCPを通る円の中心、CAPを通る円の中心、ABPを通る円の中心とする。このときABCが同一円周上にあるための必要十分条件はPの内心に一致することであることを示せ。
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[3] n枚のカードを積んだヤマがあり、各カードには上から順番に1からnまでの番号がつけられている。ただしとする。このカードの山に対して次の試行を繰り返す。1回の試行では、一番上のカードを取り、山の一番上にもどすか、あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う。これらn通りの操作はすべて同じ確率であるとする。n回の試行を終えたとき、最初一番下にあったカード(番号n)が山の一番上にきている確率を求めよ。
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[4]  をみたす行列とする(abcdは実数)。自然数nに対して平面上の点
により定める。の長さが1のとき、すべてのnに対しての長さが1であることを示せ。ここでOは原点である。
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[5] xy平面上で原点を極、x軸の正の部分を始線とする極座標に関して、極方程式 ()により表される曲線をCとする。Cx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。
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[6] abを互いに素、すなわち1以外の公約数を持たない正の整数とし、さらにaは奇数とする。正の整数nに対して整数をみたすように定めるとき、次の(1)(2)を示せ。ただしが無理数であることは証明なしに用いてよい。
(1) は奇数であり、は互いに素である。
(2) すべてのnに対して、は奇数であり、は互いに素である。
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