京大理系数学
'08
年
甲
[5]
次の式で与えられる底面の半径が
2
,高さが
1
の円柱
C
を考える。
xy
平面上の直線
を含み、
xy
平面と
の角をなす平面のうち、点
を通るものを
H
とする。円柱
C
を平面
H
で二つに分けるとき、点
を含む方の体積を求めよ。
解答
どんな問題集にも載っているようなタイプの求積問題です。
定積分と体積
を参照してください。
体積を求める立体を
K
とします。右図でクリーム色の平面
H
の下側の部分になります。
K
を
y
軸に垂直な平面
(
)
で切ると、右図のように、断面は長方形
R
(
右図橙色の部分
)
になります。
平面
H
を
yz
平面に垂直な方向から眺めると、
yz
平面上の直線
に重なって見えます。
のとき、
となるので、
R
の縦の長さは
です。
立体を
xy
平面に垂直な方向から眺めると、円柱のふちは、円:
に重なって見えます。
のとき、
となるので、
R
の横の長さは
です。
よって、長方形
R
の面積
は、
求める体積
V
は、
の範囲に立体が存在するので、
は、
とおくと
(
置換積分
を参照
)
、
,両辺を微分して
(
陰関数の微分法
を参照
)
、
,
,
k
:
のとき、
t
:
は、右図の緑色部分の面積に等しく
(
は、円
の
の部分です
)
、
(
置換積分
(
その
2)
を参照
)
よって、
......[
答
]
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