京大理系数学'07年前期甲[2]

xyを相異なる正の実数とする。数列
   
()
によって定めるとき、が有限の値に収束するような座標平面上の点の範囲を図示せよ。

解答 2項間漸化式の問題ですが、「xyを相異なる正の実数とする」という制約がついているので、解き易いように配慮されています。

問題文の
2項間漸化式
の両辺をで割ります(です)
より、です。
とおくと、

 ・・・@
αに置き換えた式
 ・・・A
Aを解くと、
@−Aより、
これより、は、初項:,公比:
等比数列

より、


,つまりのとき、より(等比数列の極限を参照)
これが有限な値に収束するために、
,つまりのとき、
より、
これが有限な値に収束するために、

逆に、 かつ かつ のとき、が有限の値に収束します。
よって、の存在範囲は右図斜線部
(境界線は、太線上を含み、点線上、白マルを除く)

注意 のとき、は言えますが、とは限らないので注意してください(数列の極限を参照)
の反例を挙げておくと、
ですが、

です。


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