京大理系数学
'07
年
前期甲
[1]
次の各問にそれぞれ答えよ。
問
1
.
,
とするとき、
を求めよ。
問
2
.得点
1
,
2
,・・・,
n
が等しい確率で得られるゲームを独立に
3
回繰り返す。このとき、
2
回目の得点が
1
回目の得点以上であり、さらに
3
回目の得点が
2
回目の得点以上となる確率を求めよ。
解答
問
1
.は、
ハミルトン・ケーリーの定理
と
多項式の除算
を利用する典型問題です。問
2
.は、うまい考え方もあるようですが、ここでは実用的に、
余事象
を考えてみます。なお、
重複組み合わせ
を利用する別解を付記しておきます。
問
1
.
ハミルトン・ケーリーの定理
より、
∴
・・・@
とおき、
を@と同型の多項式
で割る
(
多項式の除算
を参照
)
と、商が
,余りが
,よって、
また、@を用いると、
......[
答
]
問
2
.
1
回目,
2
回目,
3
回目の得点を
x
,
y
,
z
とすると、
となる
確率
を求めたいわけです。
そのまま
場合の数
を数えても良いのですが、
余事象
を考えてみます。
‘
',つまり‘
かつ
'の余事象は、‘
または
'です。
‘
'という事象では
z
は任意なので、
x
,
y
についてのみ考えます。
x
,
y
の出方は、全部で
通りあります。
‘
'という事象と‘
'という事象とは排反でありまた同様に確からしく、‘
または
'という事象の余事象は‘
'です。
‘
'という出方は、
n
通りあります。よって、‘
'となる確率
は、
‘
'という確率も同様に
ところで、‘
'かつ‘
',つまり‘
'となる場合の数は、
n
個の異なるものから
3
個を選ぶ組み合わせの数であって、
通り。
x
,
y
,
z
の出方は、全部で
通りあります。
‘
'となる確率
は、
よって、‘
または
'となる確率
は、
求める確率
は、
......[
答
]
別解
x
,
y
,
z
の出方は、全部で
通りあります。
1
から
n
まで
n
個の数字を並べて書いておき、
n
個の各数字の右側
n
カ所のどこかに
3
本の境界線を書き込み
(1
つの数字の右側に複数の境界線を書き込んでも構わない
)
、各境界線の左にある数字を
x
,
y
,
z
とすると、
となる
1
つの場合を作ることができます。
‘
'となる場合の数は、
n
個の数字と境界線の並べ方を数えれば良いのですが、
1
の左に境界線が来てはいけないので、
2
から
n
までの
個の数字と
3
本の境界線を置くべき
個の位置から境界線を置く
3
カ所を選ぶ組み合わせの数に等しく、
通りあります
(
重複組み合わせ
を参照
)
。
求める確率は、
......[
答
]
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