京大理系数学'07前期甲[1]

次の各問にそれぞれ答えよ。
1とするとき、
を求めよ。

2.得点12,・・・,nが等しい確率で得られるゲームを独立に3回繰り返す。このとき、2回目の得点が1回目の得点以上であり、さらに3回目の得点が2回目の得点以上となる確率を求めよ。

解答 問1.は、ハミルトン・ケーリーの定理多項式の除算を利用する典型問題です。問2.は、うまい考え方もあるようですが、ここでは実用的に、余事象を考えてみます。なお、重複組み合わせを利用する別解を付記しておきます。

1. ハミルトン・ケーリーの定理より、
 ・・・@
とおき、を@と同型の多項式で割る
(多項式の除算を参照)と、商が,余りが,よって、
また、@を用いると、
......[]

2. 1回目,2回目,3回目の得点をxyzとすると、となる確率を求めたいわけです。
そのまま場合の数を数えても良いのですが、余事象を考えてみます。
',つまり‘かつ'の余事象は、‘または'です。
'という事象では
zは任意なので、xyについてのみ考えます。
xyの出方は、全部で通りあります。
'という事象と‘'という事象とは排反でありまた同様に確からしく、‘または'という事象の余事象は‘'です。
'という出方は、n通りあります。よって、‘'となる確率は、
'という確率も同様に
ところで、‘'かつ‘',つまり‘'となる場合の数は、
n個の異なるものから3個を選ぶ組み合わせの数であって、通り。xyzの出方は、全部で通りあります。
'となる確率は、
よって、‘または'となる確率は、
求める確率は、
......[]

別解 xyzの出方は、全部で通りあります。
1からnまでn個の数字を並べて書いておき、n個の各数字の右側nカ所のどこかに3本の境界線を書き込み(1つの数字の右側に複数の境界線を書き込んでも構わない)、各境界線の左にある数字をxyzとすると、となる1つの場合を作ることができます。
'となる場合の数は、
n個の数字と境界線の並べ方を数えれば良いのですが、1の左に境界線が来てはいけないので、2からnまでの個の数字と3本の境界線を置くべき個の位置から境界線を置く3カ所を選ぶ組み合わせの数に等しく、通りあります(重複組み合わせを参照)
求める確率は、
......[]


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