京都大学理系2006年前期数学入試問題

[1]
 2次式とする。整式では割り切れないが、で割り切れるという。このとき2次方程式は重解をもつことを示せ。
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[2] 点Oを原点とする座標空間の3点をABPとする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。
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[3] 関数のグラフは、座標平面で原点に関して点対称である。さらにこのグラフのの部分は、軸がy軸に平行で、点を頂点とし、原点を通る放物線と一致している。このときにおけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。
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[4] 2以上の自然数nに対し、nがともに素数になるのはの場合に限ることを示せ。
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[5] に対し、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。
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[6] として、関数F
   
で定める。
q?の範囲を動くとき、Fの最大値を求めよ。
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