京大理系数学'04年前期[6]

Nを自然数とする。個の箱があり、1からまでの番号が付いている。どの箱にも玉が1個入っている。番号1からNまでの箱に入っている玉は白玉で、番号の箱に入っている玉は赤玉である。次の操作()を、おのおののに対して、kが小さい方から順番に1回ずつ行う。
() k以外の番号のN個の箱から1個の箱を選び、その箱の中身と番号kの箱の中身を交換する。(ただし、N個の箱から1個の箱を選ぶ事象は、どれも同様に確からしいとする。)
操作がすべて終了した後、赤玉が番号の箱に入っている確率を求めよ。

解答 のとき、番号1の箱に入っているのは白玉です。番号の箱を選んだときに限り、操作()を行った後に、番号1の箱に赤玉、番号の箱に白玉が残ります。ですが、この時点で、番号2から番号Nまでの箱には白玉が入っています。

のとき、番号
2の箱に入っているのは白玉です。番号の箱を選び、赤玉が入っている場合に限り、操作()を行った後に、番号2の箱に赤玉、番号の箱に白玉が残ります。この時点で、番号3から番号Nまでの箱には白玉が入っています。番号1,番号2の箱には赤玉が入っている可能性があります。

これを続けていくと、として、のとき、番号
nの箱に入っているのは白玉です。番号の箱を選び、赤玉が入っている場合に限り、操作()を行った後に、番号nの箱に赤玉、番号の箱に白玉が残ります。この時点で、番号から番号Nまでの箱には白玉が入っています。番号1から番号nまでの箱には赤玉が入っている可能性があります。

のとき、番号
Nの箱に入っているのは白玉です。番号の箱を選び、赤玉が入っている場合に限り、操作()を行った後に、番号Nの箱に赤玉、番号の箱に白玉が残ります。

従って、に対して、操作
()を行い、そのいずれにおいても番号の箱が選ばれなかったとき、番号の箱には赤玉が残ることになり、のとき、番号1から番号Nの箱のどれかを選んで箱の中身を交換すると、番号の箱には白玉が残ることになってしまいます。

に対して、操作
()を行い、そのいずれかにおいて番号の箱が選ばれたときには、番号の箱に入っているのは白玉です。なぜなら、上記のように、に対して、kが小さい方から順番に1回ずつ行うのであれば、番号kの箱に入っているのは必ず白玉だからです。操作()を行って、もう一つの箱として番号の箱を選び、既にこの箱に白玉が入っていたとしても、番号の箱に赤玉が戻ることはありえません。

ということは、操作
()を、に対して、kが小さい方から順番に1回ずつ行って操作完了後、番号の箱に赤玉が入っているのは、
に対して、操作()を行い、そのいずれかの1回において番号の箱が選ばれて、かつ、のとき、番号1から番号Nの中で赤玉の入っている箱を選んで、番号の箱と中身を交換した場合
です。

に対して、操作
()を行い、そのいずれかにおいて番号の箱が選ばれる事象E余事象は、
そのいずれにおいても番号
k以外のN個の箱から番号の箱が選ばれないという事象で、確率は、確率で起こる事象がN回繰り返されるので、です。
Eの確率は、です。
のとき、番号
1から番号Nの箱の中から赤玉の入っている1個の箱を選ぶ確率は

よって、求める確率は、

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