京大理系数学'04年前期[5]

複素数aに対してその共役複素数をであらわす。aを実数ではない複素数とする。複素平面内の円Cが、1aを通るならば、Cも通ることを示せ。(注意:複素平面のことを複素数平面ともいう)

解答 現行課程においては範囲外の問題ですが、計算部分は、現行課程で対応できます。

Cの中心を表す複素数をcとする。1aが円C上の点であることより、
 (複素数平面参照)
各辺2乗すると(絶対値参照)
・・・@

よって、 ・・・A
・・・B

Aより、 ・・・C
B,Cより、
・・・D
@,Cより、
・・・E

cとの距離の2乗について、
(Dを用いると、)
よって、Eより、
これより、と円
Cの中心cとの距離は円Cの半径に等しく、は円C上の点です。


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