京大理系数学'03年前期[6]

nチームがリーグ戦を行う。すなわち、各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、勝つ確率はすべてで、各回の勝敗は独立に決まるものとする。このとき、1敗のチームがちょうど2チームである確率を求めよ。ただし、n3以上とする。

解答 考えにくい確率の問題です。

1敗になる2チーム(A,Bとします)nチームの中から選ぶ方法は、通りあります(組み合わせを参照)
この
2チームの勝敗のパターンは、ABに勝つ、BAに勝つ、の2通りあります。
ここで、
ABに勝ったとして、A1敗するので、負けた相手をCとします。Cの選び方は、AB以外のチームから1チームを選ぶので、通りあります。

Bは既にAに負けているので、1敗になるためには、Cに勝つことになります。1敗のチームはちょうど2チームしかできないので、Cは、ABC以外のチームのどれか少なくとも1チームには負けていることになります。これは、チームの全てに勝つという事象の余事象です。この確率は、です。

さて、
Aが特定の1チームにだけ負けて、残りのチームに勝つ確率は、 (独立試行の確率を参照)
A
1敗のとき、Bは既にAに負けているので、B1敗となるためには、BA以外のチームに全勝します。この確率は、

以上より、求める確率は、

......[]


   京大理系数学TOP   数学TOP   CHALLENGE from the VOID   TOPページに戻る

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入