京大理系数学'03年前期[5]

abcdを実数とする。2次の正方行列2次の単位行列Eに対して、集合
とする。このとき次の条件()が成立するための、abcdについての必要十分条件を求めよ。
() の要素Bは零行列でなければ逆行列をもつ

解答 論理構造が複雑で、試験場では、答案をまとめるのに苦労するだろうと思います。

(i) のとき
ならば、の要素はAにかかわらず無条件に零行列になります。
のとき、の要素は
が零行列となるのは、のとき ・・・@
@以外のときで、
逆行列をもつのは、のとき ・・・A

(ii) のとき、の要素は、
が零行列となるのは、かつのとき ・・・B

のときにはBは成立しないので、は零行列に成り得ません。
このとき、は、Aにかかわらず無条件に逆行列をもちます。

のときには、Bが成立するのは、
かつのとき、 ・・・C
となれば、は零行列になります。
となれば、は、逆行列をもちます。
Cが成立しないときには、は零行列にはなり得ません。このとき、が逆行列をもつのは、
のときです。
両辺をで割り、とおくと、
これが成立するのは、t2次方程式:が実数解をもたないときで、
判別式:のとき ・・・D 
(2次方程式の一般論を参照)

ここで、@はCに含まれます。
D
より、AはDに含まれます。
従って、
() CまたはD

逆に、Cが成立するとき、の要素はであって、なら零行列になりますが、なら逆行列をもつので、
()は成立します。
Cが成立せずDが成立するとき、の要素は、なら零行列になりますが、それ以外には零行列になる場合はなく、
t2次方程式:は、判別式より実数解をもたず、より、は逆行列をもつので、()は成立します。

以上より、求める
必要十分条件は、CまたはDで、
かつ
または、 ......[]


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