京大理系数学'03年前期[3]

四面体OABCは次の2つの条件
(i)
(ii) 4つの面の面積がすべて等しい
をみたしている。このとき、この四面体は正四面体であることを示せ。

解答 (i)より、 ・・・@ (空間ベクトルを参照)
などより、
・・・A

(ii)より、各面の三角形の面積Sについて、

・・・B

Aより、

・・・C

@において、などより、

・・・D
(ii)より、Bと同様にして、
Cと同様にして、Dより、 ・・・E
また、


・・・F

C,E,Fより、
これより四面体OABCの各面はすべて正三角形であって、四面体OABCは正四面体です。

上記では、一々各辺の長さを確かめましたが、問題文に与えられている状況は、点
O,点A,点B,点Cについて対等です。従って、ある四面体で成立する事実があれば、OAに,ABに、BCに、COに名前を付け替えても全く同じことが成立します。この問題でも、Cを確認すれば、あとは、「各頂点の名前を付け替えることにより、が成り立つ」とすることができます。


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