京大理系数学'03年前期[2]

()とする。点におけるの法線と、のグラフのの部分、およびy軸とで囲まれる図形を考える。この図形をx軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ。

解答  (微分の公式を参照)
従って、接線の傾きは1で、法線の傾きは (接線・法線の公式を参照)
におけるの法線l
整理して、
l
求める体積
Vは、lx軸,y軸とで囲まれる部分をx軸の回りに回転して得られる円錐(底円の半径:p,高さ:p)の体積から、lx軸,とで囲まれる部分をx軸の回りに回転して得られる円錐(底円の半径:,高さ:)の体積を引き、さらに、の部分をx軸の回りに回転して得られる回転体の体積を引いたものになります(定積分と面積を参照)




 (部分積分法を参照)



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