京大理系数学'03年前期[1]

正の数からなる数列が次の条件(i)(ii)をみたすとき、を求めよ。
(i)
(ii) ()

解答 (ii)より、
・・・@
このタイプの
漸化式には便利な技巧があります。技巧を知らなければ、と代入して、,・・・を求め、一般項の形を予測して、数学的帰納法で証明することになります。これでも試験会場で充分に実用的ですが、もっと、即決する解法があります。
@の左辺は、分母分子に第
n項と第項が入っている形をしています。右辺はちょっと違って、このままでは、です。左辺と右辺でつじつまが合わない形をしています。ここで、左辺と右辺でつじつまが合うようにできないかを考えます。どうするとつじつまが合うかと言うと、右辺も、分母分子に何らかの数列の第n項と第項が分かれて入るような形にすればよいのです。
このために、@の右辺の分母分子に
nをかけます。
分子のを第項だとすると、分母のは第n項です。整理して、第n項どうし、第項どうしでまとめます。
・・・A
Aが何を意味するかと言うと、数列の各項はすべて同じ値だと言うことです。Aはで成り立つので、n2からnまで変えてゆけば、
(でも成立します)
これで一般項が求まってしまいました。
ここで注意したいのは、
nをかけることが技巧ではないということです。「左辺と右辺とでつじつまを合わせる」という発想が技巧です。

従って、

 (数列の求和技法を参照)

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