京大理系数学'02年前期[6]

とし、aは正の数とする。複素数平面上の点,・・・ をつぎの条件(i)(ii)を満たすように定める。
(i) , 
(ii) のとき、点を原点のまわりに回転すると点に一致する。
このとき点 ()が点と一致するようなnが存在するための必要十分条件は、q が有理数であることを示せ。

解答 この問題は、複素数平面を想定しているので、現行課程では範囲外の問題です。有理数については、実数を参照してください。

とおきます
(極形式を参照)
(ii)より、
これより
(i)を用いて、

と一致するとき、
・・・@
よって、
ド・モアブルの定理により、

これは、
mを自然数として、,つまり、のときに満たされます。
従って、は有理数です。

逆に、
q を満たす有理数で、適当な自然数pqを用いて、と表せたとします。
このとき、とすれば、より、

となり、@が満たされるので、となります。

よって、となる
nが存在するための必要十分条件は、“q が有理数であること”、です。


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