京大理系数学'02年前期[5]

abcを実数とする。のグラフが相異なる3つの交点を持つという。このときが成立することを示し、さらにこれらの交点のx座標のすべては開区間に含まれていることを示せ。

解答 3次方程式の解に関する問題です。問題文中のxの開区間というのは、という範囲(両端を含まない)のことです。


を連立すると、
・・・@
@の左辺をとおきます。

題意成立のために、3次方程式@が3個の相異なる解をもてばよいのですが、そのためには、が極大値と極小値をもち、極大値が正で極小値が負となることが必要十分です。
が極大値と極小値をもつために、少なくとも、
2次方程式が相異なる2実数解をもつ必要があります。従って、2次方程式の判別式Dは正です(2次方程式の一般論を参照)

・・・A

Aの条件下に、
2次方程式2解をとします。
極大値,極小値であり、において、よりは単調増加です。
,また、のときなので、
3次方程式の範囲に解pをもちます。また、なので、3次方程式の範囲に1個の解をもちます。

また、において、よりは単調増加です。
,また、のとき、なので、
3次方程式の範囲に解qをもちます。また、なので、3次方程式の範囲に1個の解をもちます。

であって、においてよりは単調減少で、
3次方程式の範囲に1個の解をもちます。

以上より、のグラフが相異なる
3つの交点を持つとき、3個の交点のx座標、つまり、3次方程式3個の解のずべては、の範囲にあります。 ・・・B

3次方程式,つまり、は重解aと解pをもつので、解と係数の関係より、


3次方程式,つまり、は重解b と解qをもつので、解と係数の関係より、


よって、Bより、3次方程式は、の範囲に異なる3実数解をもちます。
つまり、のグラフの
3交点のx座標のすべては開区間に含まれています。

この問題については、おもしろい技巧があります。大学への数学
'056月号に投稿した、拙稿をご参照ください。


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