京大理系数学'02年前期[4]

(1) で定義された関数について、導関数を求めよ。
(2) 極方程式 ()で定義される曲線の、の部分の長さを求めよ。

解答 この問題は、現行課程では範囲外の問題です。

(1)
......[] (微分の公式合成関数の微分法を参照)

(2) 曲線上の点の座標をxy座標系でとします。
より、





求める曲線の長さは、
 (部分積分法で計算します)


2項の積分はLそのものなので左辺に移項します。第3項の積分は(1)を利用すると、

以上より、
求める曲線の長さは、
......[]


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