京大理系数学'02年前期[3]

は整数を係数とするx4次式とする。4次方程式の重複も込めた4つの解のうち、2つは整数で2つは虚数であるという。このときabcの値を求めよ。

解答 4次方程式:の整数解をpq,虚数解(実数係数の4次方程式なので、互いに共役になる)とします(高次方程式を参照)

4次方程式の各項の係数を比較して、
・・・@
・・・A
・・・B
・・・C

@より、 ・・・D
右辺は整数なので、も整数です。
Aより、
右辺は整数なので、も整数です。
Cより、
1の約数であって、より、 ・・・E に限られます。従って、です。よって、
(i)
(ii)

2つの場合を考えればよいことになります。

つまりより、
aは単位円上(原点を中心とする半径1の円)の点を表す複素数です。
は、
aの実部2倍なので、より、
但し、のときには、に限られてしまい、このときにはは虚数でなくなってしまいます。
って、 ・・・F

(i) のとき、
Dより、
A,Eより、

Bより、
Fより、

従って整数aは、

のとき、
のとき、
のとき、

(ii) のとき、
Dより、
A,Eより、

Bより、
Fより、

従って整数aは、

のとき、
のとき、
のとき、

以上より、
= ......[]


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