京大理系数学'02年前期[2]

半径1の円周上に相異なる3ABCがある。
(1) ならばは鋭角三角形であることを示せ。
(2) が成立することを示せ。また、この等号が成立するのはどのような場合か。

解答 優れた解法があるようですが、思いつけた人はそれで良いですが、試験場では下記のようなものでしょう。難問です。

(1) 余弦定理より、 ・・・@


@両辺にを加えると、


より、
( BCは円の直径2よりも小さい)
同様に、
よって、
ABCすべて鋭角だから、は鋭角三角形。

(2) 円の中心をOとします。です。
(abgは、三角形の内角ではなく、三角形の外心と各頂点を結ぶ線分同士のなす角であること、また、三角形が鈍角三角形の場合、abgのどれかが鈍角に対する中心角になるときには、よりも大きな角になることに注意)
余弦定理より、



・・・A

とおきます。ここで、
 ・・・B
です。
(i) ,つまり、のとき、Bの各辺に ()をかけてを加えることにより、
・・・C
左側の等号は、,つまり、のときに成立。
右側の等号は、,つまり、のときに成立。
(ii) ,つまり、のとき、Bの各辺に ()をかけてを加えることにより、
・・・D
左側の等号は、,つまり、のときに成立。
右側の等号は、,つまり、のときに成立。

そこで、とおいて、

を調べることにします(2次関数の最大・最小を参照)


(i)のとき、より、
このとき、
Cより、
ここで、となるのは、かつ、,つまり、のとき、
即ち、のときで、このとき、は正三角形です。

(ii)のとき、より、
このとき、
Dより、
ここで、となるのは、かつ、,つまり、のときですが、このとき、で、なので、にはなり得ません。

以上より、であって、等号成立は、が正三角形のときです。
Aより、であって、等号成立は、が正三角形のとき
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