慶大理工数学
'11
年
[A3]
実数
θ
は
の範囲を動くとする。空間内の動点
P
と点
Q
を通る直線が、
xy
平面と交わる点を
R
とする。
x
,
y
を
θ
の関数として表すと、
,
となる。これより、
と
を
x
,
y
を用いて表すと、
,
となる。したがって、
θ
が上の範囲を動くとき、点
R
の
xy
平面上の軌跡の方程式を
とすれば、
となる。
次に、
xy
平面内の領域
D
を
と定め、領域
D
の面積を求めることを考える。直線
を原点
O
を中心として、
回転した直線の方程式は
となる。また、曲線
を原点を中心として、
回転した曲線の方程式を
(
)
とすれば、
となる。領域
D
を原点を中心として、
回転した領域を
とすれば、領域
D
と領域
は合同だから、
である。
解答
有名曲線だし、穴埋め問題なので座標回転を持ち出すまでもないでしょう。
直線
PQ
上の点は、
(
直線のベクトル方程式
、
空間ベクトル
を参照
)
xy
平面上では、
として、
より
なので、
よって、
(
チ
)
(
ツ
)
......[
答
]
・・・@
(
テ
)
(
ト
)
......[
答
]
∴
・・・A
(
双曲線
を参照
)
と@より、
よって、
Aより、
となりますが、複号は、−をとると、
より、
となってしまうので、+をとることになります。よって、
(
)
(
ナ
)
......[
答
]
直線
と原点との距離は
です。直線
を原点
O
を中心として
回転したとき傾き
の直線になりますが、原点との距離はやはり
です。傾き
の直線を
(
)
として、原点との距離は、
(
点と直線の距離
を参照
)
,
よって、回転後の直線の方程式は、
・・・B
(
ニ
)
......[
答
]
Aは
と
を漸近線とする直角双曲線です。Aの
の部分を
回転すると第
1
象限に来ますが、漸近線は
x
軸と
y
軸になり、直角双曲線は
(
p
:定数
)
となります。
Aは
y
軸と
で交わりますが、この点を
回転すると
に来ます。直角双曲線
が
を通るので、
回転後の直角双曲線は
,
(
第
1
象限にあるので
)
・・・C
(
ヌ
)
......[
答
]
B,Cを連立すると、
∴
の
面積
S
は、
(
不定積分の公式
を参照
)
(
ネ
)
......[
答
]
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