慶應大学理工学部2011年数学入試問題

[A1](1) とする。定積分
の値はである。
(2) kを実数とする。座標平面上で、点を直線に関して対称移動した点をとすると
が成り立つ。
(3) 負でない実数を満たすものが与えられているとき、数列を次のように定める。に対してを大きさの順に並べ、大きい順にとする。たとえばとするとき、であり、である。
次に、はどれも0ではなくが満たされているとする。このときである。
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[A2] kを実数として、x4次関数
と定める。
(1)方程式は、kの値によらずを実数解としてもつ。また、この方程式の実数解がのみとなるのは、のときである。
(2) のとき、で最小値をとる。
(3) 方程式が相異なる4つの実数解をもつようなkの値の範囲は、である。kがこの範囲にあるとき、4つの解をabcd ()とする。をそれぞれkを用いて表すと、
となる。また、のとき、である。
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[A3] 実数θ
の範囲を動くとする。空間内の動点Pと点Qを通る直線が、xy平面と交わる点をRとする。xyθ の関数として表すと、
となる。これより、xyを用いて表すと、
となる。したがって、θ が上の範囲を動くとき、点Rxy平面上の軌跡の方程式をとすれば、となる。
次に、
xy平面内の領域D
と定め、領域Dの面積を求めることを考える。直線を原点Oを中心として、回転した直線の方程式はとなる。また、曲線を原点を中心として、回転した曲線の方程式を ()とすれば、
となる。領域Dを原点を中心として、回転した領域をとすれば、領域Dと領域は合同だから、
である。
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[A4] 1辺の長さが1の正五角形の5つの頂点に反時計回りにABCDEと名前をつける。いま、初めに頂点Aに白玉を1個、頂点Cに赤玉を1個置き次の操作を繰り返し行う。

 [操作] コイン1枚とさいころ1個を同時に投げる。コインの表が出たら白玉を、裏が出たら赤玉を選んでさいころの出た目の数の長さだけ正五角形の辺上を反時計回りに動かす。また、玉が到達した頂点に別の色の玉がある場合は、玉を動かす前にあった2つの玉の位置を入れ替えるものとする。


例えば1回目にコインの表とさいころの6の目が出たとすると白玉がABCDEABと動き、白玉の位置が頂点Bとなる。続いて2回目にコインの裏とさいころの4の目が出たとすると赤玉がCDEABと動き、到達した頂点Bに白玉があるので、赤玉を頂点Bに置き、頂点Bにあった白玉を頂点Cに移す。
以下、
2つの玉が正五角形の隣り合う2頂点にある状態を「状態(S)」と呼ぶことにする。
(1) 2回目の操作を終えたとき頂点Dと頂点Eに玉がある確率はである。
(2) n回目の操作を終えたとき状態(S)となる確率をとする。である。またの間にはという関係式が成り立つ。これよりnを用いて表すととなる。
(3) n回目の操作を終えたとき初めて状態(S)となる確率をとする。nを用いて表すとである。
いま、状態(S)となるまで操作を繰り返し、状態(S)となった時点で操作を終了する。ただし、操作をr回行っても状態(S)とならない場合はr回で操作を終了することとする。このとき操作を行う回数の期待値をrを用いて表すととなる。
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[B1] 座標空間で次の8つの点
ABCD
E
FGH
を頂点とする1辺の長さ2の立方体ABCD-EFGHを考える。いま、点Pを正方形EFGH内の点(辺上も含む、ただし)とし、点Aと点Gを通る直線をとする。
(1) Qを直線上の点で (t は実数)を満たすものとする。が直交するときt xyで表すととなる。
(2) Pから直線に下ろした垂線の足は点Aと点Gの間にあることを証明せよ。
(3) Pが原点Oを中心とするxy平面上の半径1の円周上を動くとし、Pの座標を ()と書くことにする。このとき、三角形APGの面積の最大値と最小値、およびそれらを与えるθ の値を求めよ。求める過程も書け。
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