慶大理工数学
'09
年
[A4]
とする。このとき、
3
次方程式
はただ一つの実数解
をもつ。正の数
R
に対し、
の範囲で
a
を動かすとき、対応する実数解
が整数となるような
a
の個数を
とする。
となるような
R
の範囲は
ナ
ニ
である。
とおき、
を
u
で表すと
ヌ
となる。したがって、
を
a
を使って表せば
(
)
となる。
が有限な正の値となるのは
ノ
のときであり、そのとき
ハ
である。
解答
問題文がわかりにくいのですが、そこがこの問題のポイントなので、
がいったい何を意味するのか、よくつかんでから解答するようにしましょう。出題者の意図がつかめれば、親切な誘導になっていることに気づけるはずです。
とおくと、
より、
は
単調増加関数
です。
,
,
,
,
,・・・
となっているので、例えば、
として、
a
が
の範囲を動くとき、
を満たす
x
は
であって
x
は整数にならないので、
です。
とすると、
a
が
の範囲を動くとき、
を満たす整数
x
は、
のときの
のみであって、
です。
だとすると、
a
が
の範囲を動くとき、
を満たす整数
x
は、
のときの
と
のときの
の少なくとも
2
個あるので、
です。
従って、
となるような
R
の範囲は
です。
(
ナ
) 2 ......[
答
]
(
ニ
) 7 ......[
答
]
(
ヌ
)
とおくと、
......[
答
]
(
ネ
)
より、
∴
問題文中の指定により
となる方をとって、
・・・@
......[
答
]
(
ノ
)
a
を
の範囲で動かすとき、
を満たす
x
が整数となるときの「
a
の個数」が
なのですが、
で
が単調増加関数であることを考えると、
a
の個数は
を満たす「整数
x
の個数」に一致し、
a
を
の範囲で動かすときの
を満たす整数
x
のうちの「最大の整数
n
」と一致します。つまり、
のとき、
の範囲を
a
が動くと
を満たす整数
x
は存在しないので、
のとき、
の範囲を
a
が動くと
を満たす整数
x
は、
のときの
の
1
つあり、
のとき、
の範囲を
a
が動くと
を満たす整数
x
は、
のときの
と、
のときの
の
2
個あり、
のとき、
の範囲を
a
が動くと
を満たす整数
x
は、
のときの
と
のときの
と
のときの
の
3
個あり、
という具合になっているので、
n
を自然数として、
のとき、
の範囲を
a
が動くと
を満たす整数
x
は
のときの
,
のときの
,・・・,
のときの
の
n
個あり、
となります。よって、
だとして、
∴
・・・A
左辺の
と右辺の
は、
とすると、
では
0
に収束し、
では正の無限大に発散します
(
数列の極限
を参照
)
。
のとき、
,
より
となるので、
が有限な正の値となるのは、
......[
答
]
のときです。
(
ハ
)
のとき、Aは、
とすると、
よって
はさみうちの原理
より、
......[
答
]
別解.
(
n
:自然数
)
のとき、@で
として、
を
として考え、
のときにのみ
とすることもできます。
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