慶應大学理工学部2006年数学入試問題

[A1]
(1) abcdは実数とする。関数
がすべてのxで微分可能であるとき、a ア d イ である。
(2) 定積分
の値は ウ となる。
(3) abは実数とする。どのような実数pqに対しても
となるのは、a エ b オ のときである。
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[A2] ある時点(0年目)で、同じ容量の2つの空の樽ABに新味噌を一杯に入れ、以後、1年経つごとに以下の操作を行う。ただし味噌の量は自然には増減しないとする。
Bの味噌を半分取り除き、Aの味噌の半分をBに移す。さらに、Aにはその年の新味噌を入れ一杯にし、両樽ともよく混ぜる。
以下では、新味噌は0年物とし、x年物の味噌が1年経過したものを年物とする。また、x年物とy年物を同量ずつ混ぜた味噌は年物と呼ぶ。
n年後に上記の操作を行った直後のABの味噌をそれぞれ年物、年物と表す。例えば カ となる。
自然数
nに対し、で表すと キ となり、数列の一般項は ク となる。この式を用いることで、数列の漸化式 ケ を得る。ここでとおき、数列の一般項を求めることにより、数列の一般項は コ となることがわかる。
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[A3] 座標平面の原点Oを中心とする単位円周上に3ABCをとる(下図を参照)。ただし、とする。以下、()()を用いて、()()を用いて記述しなさい。
線分
ABy軸との交点をD,線分BCy軸との交点をEとすると、線分OD,線分OEの長さはそれぞれである。
この
xy平面を含む座標空間において、正三角形ABC内の各点から、xy平面と垂直に、高さがその点のx座標の絶対値である線分を立てて得られる立体図形を考える。頂点ABCの上にある線分の最上点をそれぞれFGHとすると、三角錐OADFの体積は,四角錐OACHFの体積は セ となる。
ACDEFHを頂点にもつ五面体の体積は、これら2つの錐体および三角錐OCEHの体積の和であり、 ソ となる。また、三角錐BDEGの体積は タ となる。
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[A4](1) 積分
 ()
において、 ()とおくと、であることを示しなさい。
(2) 関数
 ()
を極方程式とする座標平面上(xy座標)の曲線を考える。偏角q をもつ点における接線の傾きは、q を用いて表すと チ となり、
 ツ  テ 
である。
(3) (2)の曲線において、y座標が最大となる点を求め、曲線の概形を図示しなさい。解答は計算も含めて解答欄に書きなさい。
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[B1] 整数pqrab に対し、次のようなxyについての連立1次方程式を考える。
以下では、とする。
(1) xypqrab を用いて表しなさい。解答欄には答だけを書きなさい。
(2) 整数pqrに関する条件は、任意の整数ab に対し解xyが整数であるための必要十分条件であることを証明しなさい。
(3) のとき、に対する解のxの値が2となるような整数の組をすべて求めなさい。
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