慶大理工数学
'05
年
[A3]
平面上に
4
点
K
,
E
,
I
,
O
がある。
K
は動点で、その座標
が時刻
t
(
)
の関数として
,
で与えられている
(
a
は正の実数
)
。
E
,
I
,
O
は定点である。
2
点
E
,
I
を通り、直線
に第
1
象限で接する円の中心の座標は
(
サ
,
シ
)
である。円周角の性質から、
が最大となるのは
t
=
ス
のときである。そのときの線分
OK
の長さを
,
を
とするとき、
=
セ
,
=
ソ
である。
解答
(
サ
)(
シ
) 2
点
E
,
I
を通る円の中心
C
は線分
EI
の垂直
2
等分線:
上にあります。
C
の座標は
と表せます。
円と直線
が接するので、円の中心
C
と
との距離は、半径、即ち、
に等しく
(
円と直線の位置関係
参照
)
、
(
点と直線の距離の公式
)
分母を払い両辺を
2
乗すると、
整理して、
(
)
∴
2
解のうち、第
1
象限で接するのは±が+の方で、
・・・@
求める円の中心の座標は、
......[
答
]
(
ス
)
線分
EK
と
(1)
の円との交点を
D
とすると、
K
は円周上または円の外側の点なので、
ここで、同一弧
EI
の上に立つ円周角
は一定で、等号が成立する
(
が最大
)
のは、
K
が円周上の点のときで、そうなるのは、
K
が直線
と円との接点になるときです。
従って、円の中心
C
を通り直線
と垂直な直線
m
と、
との交点を求めればよく、
直線
m
:
(
2
直線の平行・垂直
を参照
)
と連立して、
∴
(
@を使って
c
を消去
)
このときの
t
の値も、
.......[
答
]
(
セ
)
このとき、
K
から
x
軸に下ろした垂線の足を
H
とすると、
KH
:
OH
=
a
:
1
より、
OH
:
OK
=
1
:
∴
......[
答
]
これより、
の最大値を与える点
K
は、原点を中心とする半径
の円周
上にあることがわかります。
・・・A
(
ソ
)
のとき、直線
は
y
軸に近づきます。
このとき、Aより、
の最大値を与える点
K
は
y
軸と
との接点
F
に近づきます
(
右図参照
)
。
∴
......[
答
]
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