慶應大学理工学部2005年数学入試問題

[A1]
 空間内のxy平面上において ()で表される曲線をCとする。C上の点Pをとり、原点からPまでの曲線の長さをsとする。空間内でPの真上に点Qをとる。
(1) 曲線の長さsxの関数としてで表す。 ア であり、またとおくと、 イ であるから、 ウ となる。したがって、線分PQの長さはxの関数となり、特に エ である。
(2) Pからx軸へおろした垂線の足をRとし、PQPR2辺とする長方形をの範囲で動かして立体をつくる。このとき、この立体の体積は オ である。
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[A2] Pが数直線上の整数点(座標が整数である点)を次の規則にしたがって正の方向に移動していく。
(i) 最初の時点でのPの座標は0である(Pは原点Oの上にある)
(ii) ある時点でのPの座標がkのとき、次の時点でPは座標の点か、または座標の点のどちらかに、それぞれの確率で移動する。
正の整数nに対して、ある時点でPの座標がnとなる確率(すなわち、Pが座標nの点を飛びこえてしまわない確率)で表す。たとえば、 カ  キ である。すると、は漸化式 ク をみたす。したがって、nの式で表すと ケ となり、 コ である。
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[A3] 平面上に4KEIOがある。Kは動点で、その座標が時刻t ()の関数としてで与えられている(aは正の実数)EIOは定点である。2EIを通り、直線に第1象限で接する円の中心の座標は( サ  シ )である。円周角の性質から、が最大となるのはt ス のときである。そのときの線分OKの長さをとするとき、 セ  ソ である。
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[B1] 22列の行列を考える。Aにおいて、bcを入れかえた行列をで表す。すなわち、である。同様に、とおく。以下で、Bはつねにをみたすものとする。
(1) となるための必要十分条件はであることを証明しなさい。
(2) のとき、すべてのBに対してとなることを証明しなさい。
(3) すべてのBに対してが成り立つならば、であることを証明しなさい。
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[B2] 実数tに対して空間の点Pを定め、Pと点Aを結ぶ線分PAxy平面と交わる点をQとする。
(1) このときabtで表し、を求めなさい。
(2) tが実数全体を動くとき、Qの軌跡を求めなさい。また軌跡の概形をxy平面上に描きなさい。
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