積分方程式   関連問題


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関係式の中に、積分を含むものを積分方程式といいます。

1を満たすを求める。
[解答] 定積分は定数になるので、 ・・・@ とおきます。すると、と書けます。このを@に代入して積分すると(定積分を参照)
......[]

2を満たすを求める。
[解答] 定積分は変数t について行うので、被積分関数内のは積分計算する間は定数であって、積分の外に出すことができます。
1と同様に ・・・@ とおくと、と書けます。このを@に代入すると、
......[]

3を満たすを求める。
[解答] 定積分の上端、下端にxを含む場合は、 (定積分と微分を参照)を利用し、与式両辺を微分します。
 ・・・A
また、与式の定積分を0とする操作を行います。積分の上端と下端を一致させます。与式ではを代入します。
 ・・・B
Aより、,両辺を積分する(不定積分の公式を参照)と、 (C:積分定数)

とおくと、
Bより、
.......[]

4を満たすを求める。
[解答] 定積分の上端、下端にxを含むので、例3と同様に、を利用し、与式両辺を微分します。
 ・・・C
これは、線形1階微分方程式(微分方程式(その2)を参照)と呼ばれるタイプの微分方程式で、定数変化法を用いて解きます。がない場合の方程式の解は (A:定数)です。がついた場合の解を、この定数Aが関数になったものだとして、
 ・・・D
とおくと、
これとCを見比べて、,つまり、,よって、
与式で、を代入すると、,Dより、,よって、 ∴
Dより、 ......[]

3.例4.のような、積分の上端・下端にxを含むタイプの積分方程式は、微分して微分方程式に直して解くことになります。


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