一橋大数学'10年前期[5]

n3以上の自然数とする。サイコロをn回投げ、出た目の数をそれぞれ順に,・・・,とする。に対してとなる事象をとする。
(1) ,・・・,のうち少なくとも1つが起こる確率を求めよ。
(2) ,・・・,のうち少なくとも2つが起こる確率を求めよ。

解答 余事象を考える標準的な確率の問題です。

(1) ,・・・,のうち少なくとも1つが起こる事象の余事象は、,・・・,が全て起こらない、つまり、,・・・,となる事象です。
として、通りの各kについて、が起こらないのはとなるときで、の各1通りに対しての出方は以外の5通りあります。
の出方は
6通りあり、,・・・,が全て起こらない目の出方は、通り。
全事象は、サイコロを
n回投げたときの目の出方で、通り。
余事象の確率は、
 ・・・@
求める確率は、1から余事象の確率を引いて、
......[]

(2) ,・・・,のうち少なくとも2つが起こる事象の余事象は、,・・・,が全て起こらない、または、,・・・,のどれか1つだけが起きて他は起こらない、という事象です。
,・・・,が全て起こらない確率は、@より、
,・・・,のどれか
1 ()だけが起きて他が起こらないのは、
(i) のとき、,・・・,となりますが、の出方が6通り、として、通りの各jについて、の出方は以外の5通りあり、通り。
(ii) のとき、,・・・,,・・・となりますが、の出方が6通り、かつとして、通りの各jについて、の出方は以外の5通り,の出方は1通り()あり、通り。
(i)(ii)とも、通りについての各場合通りあるので、,・・・,のどれか1つだけ起こるのは、通り。
全事象は
(1)と同じく、通り。
余事象の確率は、
求める確率は、
......[]


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