一橋大数学'10年前期[4]

0以上の整数が与えられたとき、数列
により定める。
(1) のとき、10で割った余りを求めよ。
(2) のとき、10の倍数であることを示せ。

解答 3項間漸化式整数の融合問題ですが、(2)はともかく、(1)をどうやって攻めるかが大問題です。試験時間のことを考えるのであれば、以下のように泥臭く対応するべきではないでしょうか。

(1) 3項間漸化式: ・・・@
特性方程式は、
@  ・・・A
これより、は、初項,公比等比数列です。
 ・・・B
@  ・・・C
これより、は、初項,公比3の等比数列です。
 ・・・D
D−Bより、

 ・・・E
10で割った余りを調べるために、Eの中カッコ内を100で割ったときの余りを調べます。
3をどんどんかけていって、100で割ったときの余り、つまり、下2桁がどうなるかを調べます。ここで、の下2桁が‘01'となることに着目(です)すると、
より、で、の下
2桁は‘01'なので、より、の下2桁は‘83'です。
また、の下
2桁が‘04'になることに着目(です)すると、
より、の下
2桁は‘04'なので、より、の下2桁は‘−12'です。
よって、Eの中カッコ内を
100で割ったときの余りは、より20で、Eより、10で割った余りは、 ......[]
別解.整数m10で割った余り、つまり、整数mの最下位桁の数字をと表すと、pqrsを整数として、
 ・・・D
が成り立ちます。
なぜなら、
ijklを整数()として、と書けたとすると、
より、
また、
となるからです。実は、上記の解答で既にこの考え方を使っています。
10で割った余り、つまり、について、漸化式:とDより、
 ・・・E
Eでとして、
同様に、
これより、連続する2項、について、
よって、Eより、
同様にして、以後、 ()となります。
これより、数列は、について、周期
20で繰り返すことがわかります。
......[]

(2) Aより、は、初項,公比の等比数列です。
 ・・・F
Cより、は、初項,公比
3の等比数列です。
 ・・・G
G−Fより、

よって、10の倍数です。


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