一橋大数学'10年前期[1]

実数pqrに対して、3次多項式と定める。実数ac,および0でない実数bに対して、cはいずれも方程式の解であるとする。ただし、iは虚数単位を表す。
(1) のグラフにおいて、点における接線の傾きをとし、点における接線の傾きをとする。のとき、の大小を比較せよ。
(2) さらに、acは整数であり、b0でない整数であるとする。次を証明せよ。
(i) pqrはすべて整数である。
(ii) p2の倍数であり、q4の倍数であるならば、abcはすべて2の倍数である。

解答 一橋大では定番の3次方程式・整数の融合問題です。なお、整数を参照してください。

(1) 3次方程式は実数係数の方程式なので、が解になれば、その共役複素数も解になります(高次方程式を参照)。つまり、3次方程式は、3個の解、cをもちます。
3次方程式の解と係数の関係より、
 ・・・@
 ・・・A
 ・・・B

 
(微分を参照)
 (接線を参照)

@を用いると、
なので、 ......[]

(2)(i) 整数同士の和、差、積は整数なので、@,A,Bより、abcが整数であれば、pqrも整数です。(証明終)
(ii) klを整数として、pqは、と書けます。
@より、

これより、c2の倍数です。mを整数として、と書けます。
Aより、

よって、4の倍数です。
abがともに2の倍数であることを背理法により示します。
abがともに2の倍数であることを否定すると、
(a) abのどちらか一方が奇数で他方は偶数。
(b) abのどちらも奇数。
2通りの場合があります。
(a)では、abのどちらか一方が奇数で他方が偶数だとすると、はどちらか一方が奇数で他方は偶数です。このとき、は奇数となり、4の倍数になり得ません。
(b)では、jnを整数として、と書けるので、
となり、4で割ると2余る整数で、4の倍数になり得ません。
よって、
abがともに2の倍数であることを否定した仮定は誤りで、abはともに2の倍数になります。
以上より、abc2の倍数です。
(証明終)


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