一橋大学2010年前期数学入試問題

[1]
 実数pqrに対して、3次多項式と定める。実数ac,および0でない実数bに対して、cはいずれも方程式の解であるとする。ただし、iは虚数単位を表す。
(1) のグラフにおいて、点における接線の傾きをとし、点における接線の傾きをとする。のとき、の大小を比較せよ。
(2) さらに、acは整数であり、b0でない整数であるとする。次を証明せよ。
(i) pqrはすべて整数である。
(ii) p2の倍数であり、q4の倍数であるならば、abcはすべて2の倍数である。
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[2] aを実数とする。傾きがmである2つの直線が、曲線とそれぞれ点A,点Bで接している。
(1) 線分ABの中点をCとすると、Cは曲線上にあることを示せ。
(2) 直線ABの方程式がであるとき、amの値を求めよ。
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[3] 原点をOとするxyz空間内で、x軸上の点Axy平面上の点Bz軸上の点Cを、次をみたすように定める。
ただし、Ax座標,By座標,Cz座標はいずれも正であるとする。さらに、△ABC内の点のうち、Oからの距離が最小の点をHとする。また、とおく。
(1) 線分OHの長さをtの式で表せ。
(2) Hz座標をtの式で表せ。
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[4] 0以上の整数が与えられたとき、数列
により定める。
(1) のとき、10で割った余りを求めよ。
(2) のとき、10の倍数であることを示せ。
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[5] n3以上の自然数とする。サイコロをn回投げ、出た目の数をそれぞれ順に,・・・,とする。に対してとなる事象をとする。
(1) ,・・・,のうち少なくとも1つが起こる確率を求めよ。
(2) ,・・・,のうち少なくとも2つが起こる確率を求めよ。
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