一橋大学2009年前期数学入試問題

[1]
 2以上の整数mnをみたす。mnを求めよ。
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[2](1) 任意の角q に対して、が成立するような点の全体からなる領域をxu平面上に図示し、その面積を求めよ。
(2) 任意の角ab に対して、が成立するような点の全体からなる領域をxy平面上に図示し、その面積を求めよ。
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[3] pqを実数とする。放物線が、中心で半径1の円と中心で半径1の円の両方と共有点をもつ。この放物線の頂点が存在しうる領域をxy平面上に図示せよ。
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[4] 一辺の長さが2の正三角形ABCを平面上におく。△ABC1つの辺に関して折り返すという操作を繰り返し行う。辺BCに関する折り返しを,辺CAに関する折り返しを,辺ABに関する折り返しをとする。△ABCは、最初3ABCがそれぞれ平面上の3Oの上に置かれているとする。
(1) の順に折り返し操作を施したときの頂点Aの移り先をPとする。また、の順に折り返し操作を施したときの頂点Aの移り先をQとする。とするとき、の値を求めよ。
(2) 整数kに対して、により定められる点Rは、の折り返し操作を組み合わせることにより、点Aの移り先になることを示せ。
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[5] XYZと書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。この中から1枚のカードが選ばれたとき、xy平面上の点Pを次の規則にしたがって移動する。
Xのカードが選ばれたとき、Px軸の正の方向に1だけ移動する。
Yのカードが選ばれたとき、Py軸の正の方向に1だけ移動する。
Zのカードが選ばれたとき、Pは移動せずそのままの位置にとどまる。
(1) nを正の整数とする。最初、点Pを原点の位置におく。XのカードとYのカードから無作為に1枚を選び、Pを、上の規則にしたがって移動するという試行をn回繰り返す。
(i) n回の試行の後にPが到達可能な点の個数を求めよ。
(ii) Pが到達する確率が最大の点をすべて求めよ。
(2) nを正の3の倍数とする。最初、点Pを原点の位置におく。Xのカード、Yのカード、Zのカードの3枚のカードから無作為に1枚を選び、Pを、上の規則にしたがって移動するという試行をn回繰り返す。
(i) n回の試行の後にPが到達可能な点の個数を求めよ。
(ii) Pが到達する確率が最大の点をすべて求めよ。
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