一橋大学2008年前期数学入試問題

[1]
 kを正の整数とする。をみたす整数nが、ちょうど1個であるようなkをすべて求めよ。
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[2] 3次方程式は異なる3つの解pqrをもつ。さらに、も同じ方程式の異なる3つの解である。abcpqrの組をすべて求めよ。
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[3] aを正の実数とする。点が、不等式の定める領域を動くとき、常にとなる。aの値の範囲を定めよ。
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[4] 正四面体OABC1辺の長さを1とする。辺OA21に内分する点をP,辺OB12に内分する点をQとし、をみたすtに対して、辺OCtに内分する点をRとする。
(1) PQの長さを求めよ。
(2) の面積が最小となるときのtの値を求めよ。
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[5] n3以上の整数とする。枚のカードがあり、そのうち赤いカードの枚数は6,白いカードの枚数はである。これら枚のカードを、箱Aと箱Bn枚ずつ無作為に入れる。2つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうどk枚入っている確率をとする。
(1) nの式で表せ。さらに、を最大にするnをすべて求めよ。
(2) をみたすnをすべて求めよ。
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