一橋大学2006年前期数学入試問題

[1]
 次の条件(a)(b)をともにみたす直角三角形を考える。ただし、斜辺の長さをp、その他の2辺の長さをqrとする。
(a) pqrは自然数で、そのうちの少なくとも2つは素数である。
(b)
(1) qrのどちらかは偶数であることを示せ。
(2) pqrの組をすべて求めよ。
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[2] 座標平面上に1辺の長さが2の正三角形ABCがある。ただし、△ABCの重心は原点の位置にあり、辺BCx軸と平行である。また、頂点Ay軸上にあってy座標は正であり、頂点Cx座標は正である。直線に関して3ABCと対称な点を、それぞれとする。
(1) の座標を求めよ。
(2) ABCと△が重なる部分の面積を求めよ。
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[3] 大きさがそれぞれ531の平面上のベクトルに対して、とおく。
(1) を動かすとき、の最大値と最小値を求めよ。
(2) を固定し、をみたすようにを動かすとき、の最大値と最小値を求めよ。
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[4] abを正の定数とする。関数のグラフと、点を通る直線はちょうど2PQを共有している。ただし、Px座標は負、Qx座標は正である。
(1) 直線PQの方程式をabで表せ。
(2) PおよびQの座標をabで表せ。
(3) となるbが存在するようなaの値の範囲を求めよ。ただし、Oは原点である。
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[5] 1,2341つずつ記された4枚のカードがある。これらのカードから1枚を抜き出し元に戻すという試行をn回繰り返す。抜き出したn個の数の和をとし、積をとする。
(1) となる確率をnで表せ。
(2) 8で割り切れる確率をnで表せ。
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