一橋大学2005年前期数学入試問題

[1]
 kは整数であり、3次方程式3つの異なる整数解をもつ。kとこれらの整数解をすべて求めよ。
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[2] 原点を中心とする半径1の円をCとし、とする。
ANを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをPとおく。また、BNを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをQとおく。
(1) Pの座標をaで表せ。
(2) AQ // PBのとき、となることを示せ。
(3) AQ // PBのとき、aの値を求めよ。
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[3] をみたすθ と正の整数mに対して、を次のように定める。
(1) を求めよ。
(2) θ の範囲を動くとき、の最大値を求めよ。
(3) mがすべての正の整数を動き、θ の範囲を動くとき、の最大値を求めよ。
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[4] aを定数とし、x2次関数を次のように定める。
(1) 2つの放物線2つの共有点をもつようなaの範囲を求めよ。
(2) (1)で求めた範囲に属するaの値に対して、2つの放物線によって囲まれる図形をとする。の面積をaで表せ。
(3) a(1)で求めた範囲を動くとき、少なくとも1つのに属する点全体からなる図形の面積を求めよ。
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[5] AB2人があるゲームを繰り返し行う。1回ごとのゲームでABに勝つ確率はpBAに勝つ確率はであるとする。n回目のゲームで初めてABの双方が4勝以上になる確率をとする。
(1) pnで表せ。
(2) のとき、を最大にするnを求めよ。
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