大阪大学理系2021年数学入試問題

[1]
 abをみたす正の実数とする。xy平面上の点Pから、曲線 ()2本の接線を引き、その接点をQRとする。ただし、とする。
(1) sおよびt abを用いて表せ。
(2) Pが曲線上のをみたす部分を動くとき、の最小値とそのときのabの値を求めよ。
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[2] 空間内に、同一平面上にない4OABCがある。stをみたす実数とする。線分OA11に内分する点を,線分OB12に内分する点を,線分ACsに内分する点をP,線分BCt に内分する点をQとする。さらに4PQが同一平面上にあるとする。
(1) t sを用いて表せ。
(2) であるとき、sの値を求めよ。
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[3] nを自然数とし、t をみたす実数とする。
(1) のとき、不等式
が成り立つことを示せ。
(2) 不等式
が成り立つことを示せ。
(3) とおく。をみたすような実数pqの値を求めよ。
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[4] 整数abcに関する次の条件()を考える。
 ・・・()
(1) 整数abc()およびをみたすとき、c3の倍数であることを示せ。
(2) のとき、()およびをみたす整数の組の個数を求めよ。
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[5] 次の問いに答えよ。
(1) aを実数とする。xについての方程式の実数解のうち、をみたすものがちょうど1個あることを示せ。
(2) 自然数nに対し、かつをみたす実数xとおく。t をみたす実数とする。このとき、曲線C上の点Pにおける接線が、不等式の表す領域に含まれる点においても曲線Cと接するための必要十分条件は、t ,・・・のいずれかと等しいことであることを示せ。
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