山梨大医数学'09[3]

αβt ()を実数とする。2次正方行列A
とし、とする。自然数nに対して、
とおく。
(1) を満たすを求めよ。
(2) nαβを用いて (pqは実数)の形に表せ。
(3) が成り立ち、が存在すると仮定する。このとき、を満たすがただ1つ存在することを示せ。さらに、このに対してを求めよ。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答 行列式の計算が面倒な問題です。(2)では、ハミルトン・ケーリーの定理による次数下げを利用します。

(1)
より、
 ・・・@


のときには、よりが存在します(逆行列を参照)
@より、
......[]
のときには、よりは存在しません。
@より、 かつ
のときには題意をみたすuvは存在しません。
のとき、
よって、wを任意の実数として、
......[]

(2)
よって、ハミルトン・ケーリーの定理より、
両辺にをかけて、
 ・・・A
ここで、3項間漸化式があるときに、
と変形するのと同様の式変形を行います。
A
これより、
 ・・・B
同様に、
 ・・・C
B−Cより、
......[] ・・・D
つまり、とするとき、
 ・・・E

(3) のとき、
より、
 ・・・F
これより、
のとき、成分について、
のとき (等比数列の極限を参照)
が存在するので、 (に注意)
の形を見ると、αについても
のとき、
のとき
が存在するので、
いずれにしても、のとき ・・・G
より、
 ・・・H
Fより、



Eを用いて、

 ・・・I
Gより,よって、が存在します。
Hより、
 ・・・J
これより、を満たすがただ1つ存在します。
のとき、E,Gより、
G,Iより、
よって、
Jより、
......[]


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。