名大理系数学'09年前期[4B]

xyを正の整数とする。
(1) をみたす組をすべて求めよ。
(2) p3以上の素数とする。をみたす組のうち、を最小にするを求めよ。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答 整数解を求める問題では、(整数A)×(整数B)=(整数C)という形を目指すとうまく行くときがあります。(整数A)×(整数B)=(整数C)となれば、(整数A)(整数B)(整数C)の約数に限られます。なお、整数を参照してください。

(1)
両辺にをかけて、

両辺に32を加えて、整数同士の積の形を作ります。

32の約数なので、,即ち、より、以下の表に示す6つの場合に限られます。
12481632
32168421
x91012162440
y362012865

表より、 ......[]

(2)
両辺にをかけて、

両辺にを加えて、整数同士の積の形を作ります。

p3以上の素数での約数なので、より、以下の表に示す6つの場合に限られます。
12p
p21
x
y

6通りの値の中では、なので、を含むものでの係数の大きいものが大きく、大きい順に、
となりそうです。これを確かめてみます。より、




以上より、
よって、の最小値はで、表より、このとき、
......[]


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。