金沢大理系数学'09年前期[3]

とし、点Oを原点とするxy平面において、3OABを頂点とする三角形OABと、互いに相似な3つの二等辺三角形を考える。ここで、辺ABOBOAはそれぞれの二等辺三角形の底辺であり、点は直線ABに対して点Oと反対側に、点は第2象限に、点は第4象限に、それぞれあるとする。とおく。次の問いに答えよ。
(1) の座標を、rtの式で表せ。
(2) 直線,および直線の方程式をの形で求めよ。
(3) 2直線の交点をMとする。比rtの式で表せ。
(4) の座標をrtの式で表し、3直線1点で交わることを示せ。


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解答 図形と方程式の分野の基本問題なのですが、問題文に想定されている状況がわかりにくく、基本問題と侮れない問題です。状況を把握することから既に問題になっていると思ってください。また(4)では、図形的な特質を活かして考えないと面倒なことになります。

(1) からOBに垂線を、からOAに垂線を下ろします。として、 ()です。

より、 ......[]

(2) 直線は、2Aを通るので、傾きは ()、方程式は、
 (直線の方程式を参照)
......[] ・・・@
直線は、
2Bを通るので、傾きは ()、方程式は、
......[] ・・・A

(3) −@より、

Aより、
......[]

(4) からABに垂線を下ろします。ABの垂直二等分線ですが、直線の方程式を求め、この直線上の点と点Bとの距離を考える、というようなことをやり出すと大変なことになります。
,また、△と△が相似なことから、
OABと△が相似なことから、
EF = OAOBAB = 1r
よって、

Fの座標はなので、の座標は ......[]
(3)
より直線OMの傾きはです。は直線OM上の点なので、3直線1点で交わります。


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