金沢大理工数学'08年後期[4]

関数のグラフ上の点における接線のy切片をとする。次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) を満たす正の数θ を小さい順に
とする。を求めよ。
(3) 無限級数の和を求めよ。ただし、のときが成り立つことを用いてもよい。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答 面倒な計算問題ですが、(3)に、(等差)×(等比)の和の形が出てきます。元の和に(等比)の公比にあたる数をかけた和を、元の和から引くと、(等比)の和の形+アルファ、になって和が求められる、というのは、理系受験生の必須技巧です。

(1)
 (積の微分法を参照)
における接線
......[]

(2)
とすると、 ()
より、 ......[]

(3)

 ・・・@ ( )
 ・・・A (等比数列を参照)
とおくと、
 ・・・B
A,Bを@に代入すると、
ここで、とすると、より、
......[]

追記.上記でを求めるところは、の行を、の行と1つずらせて、eの指数がそろうように書き、上から下を引くところがミソです。
 ・・・C
 ・・・D
のようにΣを使って書く場合、Σを使ったまま、C−Dとし、


のように変形できるとよいと思います。

本問では、微分計算の後で
(等差)×(等比)の形が出てきますが、この形は、確率の問題の中でよく登場します。
例えば、袋の中に白球と黒球が入っていて、それぞれの確率で取り出す試行を行うとき、黒球を取り出した時点で試行は終了、白球を取り出した場合には試行を繰り返すとき、白球を取り出す回数の期待値
Eを求める、という場合、

 ・・・E
 ・・・F
E−Fより、




ここでとすると、
よって、



【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。