因数定理　　　　関連問題
剰余の定理：多項式をで割ると、余りは
[証明]　多項式をで割ったときの商を，余りをRとします。
1次式で割るので、余りは定数です(多項式の除算を参照)。
このとき、
ここで、とすると、

よって、多項式をで割ると、余りは　(証明終)

例1．多項式をで割ると3余り、で割ると余るという。をで割った余りを求めよ。
[解答]　をで割ると3余るから、 ･･･① とおけます。
をで割ると余るから、剰余の定理より、です。
①において、とすると、
∴
これより、をで割ると2余るので、とおけます。
これを①に代入すると、

　
　
よって、をで割った余りは、 ......[答]
[別解]　を2次式で割った余りは1次式なので、とおくと、
　･･･②
をで割ると3余るので、②でとして、剰余の定理より、　･･･③
をで割ると余るので、②でとして、剰余の定理より、　･･･④
③－④より、　∴
③より、
これより求める余りは、 ......[答]

多項式をで割ったときの商を，余りをRとして、

ここで、とすると、

即ち、多項式をで割ったときの余りは、です。

因数定理：多項式がで割り切れる ⇔
[証明]　剰余の定理より、をで割ったときの余りは
割り切れるとき、余り
逆に、のとき、をで割ったときの商をとして、

よって、はで割り切れます。　(証明終)

因数定理を用いて、因数分解する方法を考えます。
多項式：について、であれば、で割り切れるので、のxに適当な数値aを代入して、となるものを探します。
無方針に探してもなかなか見つからないときもあるので、の定数項をc，最高次の項の係数をdとして、cの約数を分子、dの約数を分母とする分数をaとして、を計算し、となれば、はで割り切れます。

例2．を因数分解してみます。
定数項の36の約数は、1，2，3，4，･･･
最高次の項の係数4の約数は、1，2，4
まず1を分母にするものから、1，2，3，･･･，と順に代入していきます。
より、はで割り切れません。
より、はで割り切れません。
より、はで割り切れます。
をで割りますが、1次式で割るときの割り算は、右図のように組み立て除法によるのが便利です。
をで割るので、まず、割られる式の係数を抜き出して書き、3 (xから引く数)をどこかに、見間違いをしないように書きます(図1)。
4の下に0 (最初は0です)を書き、4と0の和4をその下に書きます(図2)。
先の和の4と3をかけた12を0の下に書き、0と12の和12をその下に書きます(図3)。
先の和12と3をかけた36をの下に書き、と36の和17をその下に書きます(図4)。
先の和17と3をかけた51をの下に書き、51との和12をその下に書きます(図5)。
先の和12と3をかけた36をの下に書き、と36の和0をその下に書きます(図6)。
最後の0が実は多項式の除算の余りです。余りがあれば0になりません。この0を除いた残りの、4，12，17，12は商の各項の係数です。
従って、商は、となります。
の因数分解を考えます。のxに正数を代入しても0にならないのは明らかです。
xに負数を代入していきます。
，，，･･･
そこで、分母を2にしてみます。
，
これより、はで割り切れます。このときの組み立て除法は、で割ると考えて右下図のようにやります。
商は、となり、

　
と因数分解されました(は実数の範囲では因数分解できません)。

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