微分・導関数

微分・導関数　　　　関連問題

関数

に対して、xが

から

まで変化するときの

の平均変化率：

でhを限りなく0に近づけたときの極限：

が極限値をもつとき、その極限値を

と書いて、関数

の

における微分係数という。

右側微分係数：

と左側微分係数：

が食い違う関数も存在する。右側微分係数と左側微分係数が一致してある有限確定値になるときに、これを微分係数という。

[注意]　このとき、微分係数

は

のグラフの

における接線の傾きを表します。右図で、点P

と点A

を結ぶ直線の傾きmは、

です。

として、点Pをどんどん点Aに近づけていくと、mは点Aにおける接線の傾きに近づいていきます。

関数

に対して、xにおける微分係数の値を関数値とする関数を考える。これを導関数といい

と書く。微分係数のaをxに書き換えて、

が極限値をもつとき、その極限値を導関数

とする。

の接線の傾きを値とする関数が導関数である。
関数

から導関数

を求めることを「微分する」という。

・微分係数

が存在するとき、

は

において微分可能である、という。
　このとき、

である。

・区間：

内のすべてのxについて

が存在するとき、

は

において微分可能である、という。
　このとき、

である。

　微分可能かどうかを考える区間は通常は両端を除いた区間(開区間という)で考える。両端を入れた区間(閉区間という)では、端点で左側微分係数か右側微分係数のどちらかを考えることができなくなる。

関数

があるとき、

とするときの関数の値の変化を考える。

をxの増分、

をyの増分という。

が微分可能なとき、

と書くことができる。これを意識して、導関数

を

とも書く。

である。また、

の導関数を単に

と書く。

例1．

(定数)の場合、

より、

です。
例2．

の場合、

より、

です。
例3．

の場合、

より、

です。
例4．

の場合、

より、

です。

一般に、

(nは1以上の整数)の場合、二項定理より、

ここで、

とすると、

のところだけが残って、

，つまり、

となります。

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