センター試験数学IIB 2013年問題 

[1]
[1] Oを原点とする座標平面上に2ABをとり、線分AB21に内分する点をP12に外分する点をQとする。3OPQを通る円をCとする。
(1) Pの座標は()であり、Qの座標は()である。
(2) Cの方程式を次のように求めよう。線分OPの中点を通り、OPに垂直な直線の方程式は
であり、線分PQの中点を通り、PQに垂直な直線の方程式は
である。
これらの
2直線の交点が円Cの中心であることから、円Cの方程式は
であることがわかる。
(3) Cx軸の二つの交点のうち、点Oと異なる交点をRとすると、Rは線分OA1に外分する。

[2] 連立方程式
()
を満たす実数xyzを求めよう。ただし、とする。
とおくと、によりである。

()から、XYZの関係式
が得られる。
この関係式を利用すると、
t 3次式


となる。したがって、により
となり、から
である
[解答へ]


[2] aを正の実数として、xの関数
とする。
関数は、で極大値をとり、で極小値をとる。このとき、
2
と原点を通る放物線
Cとする。原点におけるCの接線の方程式は
である。また、原点を通りに垂直な直線mの方程式は
である。
x軸に関して放物線Cと対称な放物線
Dとする。Dで囲まれた図形の面積S
である。
放物線
Cと直線mの交点のx座標は、0である。Cmで囲まれた図形の面積をTとする。となるのはのときであり、このとき、である。
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[3](1) 数列は次を満たすとする。
 () ・・・@
数列の一般項と、初項から第n項までの和を求めよう。まず、@から
 ()
となるので、数列の一般項は
である。したがって、自然数nに対して
である。

(2) 正の数からなる数列は、初項から第3項がであり、すべての自然数nに対して
 ・・・A
を満たすとする。また、数列を、自然数nに対して、で定める。数列の一般項を求めよう。まず、Aから
である。したがって、となるので
 () ・・・B
と推定できる。
Bを示すためには、から、すべての自然数
nに対して
 ・・・C
であることを示せば良い。このことを「まず、のときCが成り立つことを示し、次に、のときCが成り立つと仮定すると、のときもCが成り立つことを示す方法」を用いて証明しよう。この方法をという。に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 組立除法   弧度法   数学的帰納法   背理法


[T] のとき、であることからCは成り立つ。
[U] のとき、Cが成り立つ、すなわち、
 ・・・D
と仮定する。のとき、Aのnを代入して得られる等式と、を代入して得られる等式から
となるので、
と表される。したがって、Dにより、が成り立つので、Cはのときにも成り立つ。
[T][U]により、すべての自然数nに対してCの成り立つことが証明された。
したがって、Bが成り立つので、数列の一般項はである。
次に、Aの
nに置き換えて得られる等式とBから
となり、であることと@から、数列の一般項は、(1)で求めた数列の一般項と等しくなることがわかる。
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[4] である平行四辺形OABCにおいて、線分OA32に内分する点をDとする。また、点Aを通り直線BDに垂直な直線と直線OCの交点をEとする。ただし、とする。
以下、とおき、実数
t を用いてと表す。

(1) t を用いて表そう。
となるので、により
 ・・・@
となる。

(2) Eは線分OC上にあるとする。θ のとり得る値の範囲を求めよう。ただし、線分OCは両端の点OCを含むものとする。以下、とおく。
Eが線分OC上にあることから、である。なので、@の右辺のrに置き換えた分母は正である。したがって、条件
 ・・・A
となる。
rについての不等式Aを解くことにより、θ のとり得る値の範囲は
であることがわかる。

(3) とする。直線AEと直線BDの交点をFとし、三角形BEFの面積を求めよう。@により、となり
となる。したがって、点Fは線分AE1に内分する。このことと、平行四辺形OABCの面積はであることから、三角形BEFの面積はである。
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