センター試験数学IIB 2012年問題 

[1]
[1] として、不等式
 ・・・@
を満たすxの値の範囲を求めよう。
真数は正であるから、が成り立つ。ただし、対数に対し、
aを底といい、bを真数という。
aを満たすとき、不等式@
 ・・・A
となる。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
   

したがって、真数が正であることとAから、のとき、不等式@を満たすxのとり得る値の範囲はである。
同様にして、のときには、不等式@を満たす
xのとり得る値の範囲はであることがわかる。

[2] として
を満たすβ について考えよう。ただし、とする。
たとえば、のとき、
β のとり得る値はの二つである。
このように、
αの各値に対して、β のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を,大きい方をとし
が最大となるαの値とそのときのyの値を求めよう。
αを用いて表すと、のときは
となり、のときは
となる。
したがって、のとり得る値の範囲は
である。よって、yが最大となるαの値はであり、そのときのyの値はであることがわかる。に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
  1   
[解答へ]


[2] 座標平面上で曲線Cとし、放物線Dとする。

(1) 曲線C上の点PにおけるCの接線の方程式は
である。放物線Dは点Pを通り、DPにおける接線と、CPにおける接線が一致するとする。このとき、pqaを用いて表すと
 ・・・@
となる。
以下、
pqは@を満たすとする。

(2) 放物線Dy軸上の与えられた点Qを通るとき
 ・・・A
が成り立つ。与えられたbに対して、Aを満たすaの値の個数を調べよう。
そのために、関数
の増減を調べる。関数は、で極小値をとり、で極大値をとる。
関数のグラフをかくことにより、のとき、Aを満たす
aの値の個数はであることがわかる。

(3) 放物線Dの頂点がx軸上にあるのは、の二つの場合である。のときの放物線をのときの放物線をとする。x軸で囲まれた図形の面積はである。
[解答へ]


[3] である等差数列とし、自然数nに対して、とおく。
であり、の公差はである。したがって

 ()
 ()
である。
次に、数列

 () ・・・@
を満たすとする。数列の一般項を求めよう。@からである。さらに、に注意して、@を利用すると
 ()
が成り立ち、この等式は

 ()
と変形できる。ここで
 () ・・・A
とおくと、は、,公比がの等比数列であるから、Aにより
 
()
である。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
    n   
[
解答へ]


[4] 空間に異なる4OABCとなるようにとり、とおく。さらに、3DEFを、となるようにとり、線分BDの中点をL,線分CEの中点をMとし、線分AD31に内分する点をNとする。

(1) を用いて
と表される。

(2) 2直線FLMNが交わることを確かめよう。とし、線分FLsに内分する点をPとする。は、sを用いて
と表される。のとき、となるので、MNPは一直線上にある。よって、2直線FLMNは交わることがわかる。

(3) 2直線FLMNの交点をGとする。は、を用いて

と表される。
とする。このとき、となる。
次に、直線
OC上に点Hをとり、実数t を用いて、と表す。は、t を用いて
 ・・・@
 ・・・A
と表される。
さらに、とする。このときの
t の値を求めよう。であることから
 ・・・B
が成り立つ。@,A,Bから、である。
[解答へ]



   センター数学TOP   数学TOP   CHALLENGE from the VOID   TOPページに戻る

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元