センター試験数学IIB 2011年問題 

[1]
[1] のとき、関数
の最小値を求めよう。
とおくと
であるから
となる。また
である。
のとり得る値の範囲は
であるから、t のとり得る値の範囲は
である。したがって、y,すなわちのとき、最小値をとる。

[2] 自然数xで、条件
  ・・・@
  ・・・A
を満たすものを求めよう。
まず、
xを正の実数として、条件@を考える。@はとおくと
となる。この2次方程式を解くと
となる。したがって、条件@を満たす最小の自然数xであり、以上のすべての自然数xは@を満たす。
次に、条件Aについて考えると、Aを満たす最大の自然数
xであり、以下のすべての自然数xはAを満たす。
したがって、求める
x以上以下の自然数である。
[解答へ]


[2] 座標平面上で、放物線Cとする。
曲線
C上の点Px座標をaとする。点PにおけるCの接線の方程式は
である。のとき直線x軸と交わる点をQとすると、Qの座標は
である。
のとき、曲線
Cと直線およびx軸で囲まれた図形の面積をSとすると
である。
のとき、曲線
Cと直線および直線で囲まれた図形の面積をTとすると
である。
のときはのときはであるとして、に対してとおく。
aがこの範囲を動くとき、Uで最大値をとり、で最小値をとる。
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[3] 数直線上で点Pに実数aが対応しているとき、aを点Pの座標といい、座標がaである点Pで表す。
数直線上に点をとる。線分
31に内分する点をとする。一般に、自然数nに対して、線分31に内分する点をとする。点の座標をとする。
であり、である。数列の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考えよう。自然数
nに対してとする。
 ()
である。したがって、 ()であり、
 ()
となる。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
        
次に、自然数nに対してを求めよう。とおくと
 ()
であり、したがって
となる。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
        
[
解答へ]


[4] 四角錐OABCDにおいて、三角形OBCと三角形OADは合同で、であり、底面の四角形ABCDは長方形であり、とおき、とおく。
を用いて表すとである。辺
OD12に内分する点をLとすると
となる。
さらに辺
OBの中点をM3ALMの定める平面をαとし、平面αと辺OCとの交点をNとする。点Nは平面α上にあることから、は実数stを用いてと表されるので、
となる。一方、点Nは辺OC上にもある。これらから、となる。
また、である。よって、を計算すると、のとき、直線
AMと直線MNは垂直になることがわかる。
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