センター試験数学IIB 2011年問題　

---

[1][1]　のとき、関数

の最小値を求めよう。
とおくと

であるから

となる。また

である。
のとり得る値の範囲は

であるから、t のとり得る値の範囲は

である。したがって、yは，すなわちのとき、最小値をとる。

[2]　自然数xで、条件

　　･･･�@
　　･･･�A

を満たすものを求めよう。
まず、xを正の実数として、条件�@を考える。�@はとおくと

となる。この2次方程式を解くと

，

となる。したがって、条件�@を満たす最小の自然数xはであり、以上のすべての自然数xは�@を満たす。
次に、条件�Aについて考えると、�Aを満たす最大の自然数xはであり、以下のすべての自然数xは�Aを満たす。
したがって、求めるxは以上以下の自然数である。

[解答へ]

---

[2]　座標平面上で、放物線をCとする。
曲線C上の点Pのx座標をaとする。点PにおけるCの接線の方程式は

である。のとき直線がx軸と交わる点をQとすると、Qの座標は

である。
のとき、曲線Cと直線およびx軸で囲まれた図形の面積をSとすると

である。
のとき、曲線Cと直線および直線で囲まれた図形の面積をTとすると

である。
のときは，のときはであるとして、に対してとおく。aがこの範囲を動くとき、Uはで最大値をとり、で最小値をとる。
[解答へ]

---

[3]　数直線上で点Pに実数aが対応しているとき、aを点Pの座標といい、座標がaである点Pをで表す。
数直線上に点，をとる。線分を3：1に内分する点をとする。一般に、自然数nに対して、線分を3：1に内分する点をとする。点の座標をとする。
，であり、である。数列の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考えよう。自然数nに対してとする。

，　()

である。したがって、　()であり、

　()

となる。ただし、，については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
　　 　　 　　
次に、自然数nに対してを求めよう。とおくと

　()

であり、したがって

となる。ただし、，，，については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
　　 　　 　　
[解答へ]

---

[4]　四角錐OABCDにおいて、三角形OBCと三角形OADは合同で、，，であり、底面の四角形ABCDは長方形であり、とおき、，，とおく。
を，，を用いて表すとである。辺ODを1：2に内分する点をLとすると

となる。
さらに辺OBの中点をM，3点A，L，Mの定める平面をαとし、平面αと辺OCとの交点をNとする。点Nは平面α上にあることから、は実数s，tを用いてと表されるので、

となる。一方、点Nは辺OC上にもある。これらから、となる。
また、，，である。よって、を計算すると、のとき、直線AMと直線MNは垂直になることがわかる。
[解答へ]

---

　　　センター数学TOP　　　数学TOP　　　CHALLENGE from the VOID　　　TOPページに戻る

---

©2005-2011 (有)りるらる	CFV21 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。
	雑誌「大学への数学」出版元