センター数学IA '13年第3問 

Oを中心とする半径3の円Oと、点Oを通り、点Pを中心とする半径1の円Pを考える。円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をABとする。また、円Oの周上に、点Bと異なる点Cを、弦ACが円Pに接するようにとる。弦ACと円Pの接点をDとする。このとき

である。さらに、であり、である。
の面積はであり、の内接円の半径はである。
(1) Oの周上に、点Eを線分CEが円Oの直径となるようにとる。の内接円の中心をQとし、の内接円の中心をRとする。このとき、である。したがって、内接円Qと内接円R
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 内接する     異なる
2点で交わる
 外接する     共有点を持たない
(2) であるから、となる。
したがって、
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 点
Pは内接円Qの周上にある
 点
Qは円Pの周上にある
 点
Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの内部にある
 点
Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの外部にある


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解答 図が描きにくい問題で、ODの長さで行き詰まった受験生が多かったようですが、直角三角形の相似に気づけば大したことはありません。
後半では、昨年に引き続き、
2円の位置関係が問われています。

は直角三角形です。三平方の定理より、

() 1 () 0 ......[]
AP
2等分線なので、
より、
APOP AOOH
() 3 () 1 () 0 () 5 ......[]
余弦定理より、
() 4 () 5 ......[]
において余弦定理より、

より、
() 2 () 4 () 5 ......[]
の面積は、 (三角形の面積を参照)
(
) 2 () 1 () 6 () 2 () 5 ......[]
内接円の半径をrとして、
......[]
(
) 6 () 5 ......[]

(1) において、 (円周角)AC共通より、
従って、の内接円の半径もです。また、QR // ACであって、 ∴
() 1 () 2 () 5 ......[]
よって、より、内接円Qと内接円Rは外接します。
() ......[]

(2) QACとの接点をFとすると、
() 6 () 1 () 0 () 5 ......[]
P,円Qともに、ABACに接するので、APQ2等分線上の点です。
() 1 () 0 () 5 ......[]
より、点Pは内接円Qの内側の点であって、点Qは円Pの内側の点です。
() ......[]


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