センター試験数学IA 2013年問題 

[1][1] とする。
このとき

であり、また

である。以上により

となる。
[2] 三角形に関する条件pqrを次のように定める。
p:三つの内角がすべて異なる。
q:直角三角形でない
rの内角は一つもない
条件
pの否定をで表し、同様にはそれぞれ条件qrの否定を表すものとする。
(1) 命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は「 」である。
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 
(p かつ q)    ( かつ )
 ( または q)   ( または )
(2) 次ののうち、命題「(p または q) r」に対する反例となっている三角形はである。
に当てはまるものを、のうちから一つずつ選べ。ただし、の解答の順序は問わない。
 直角二等辺三角形
 内角がの三角形
 正三角形
 三辺の長さが
345の三角形
 頂角がの二等辺三角形
(3) r(p または q)であるための
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 必要十分条件である
 必要条件であるが、十分条件ではない
 十分条件であるが、必要条件ではない
 必要条件でも十分条件でもない
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[2] 座標平面上にある点Pは、点Aから出発して、直線上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また、同じ座標平面上にある点Qは、点PAを出発すると同時に原点Oから出発して、直線上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してからt秒後の2PQを考える。点POに達するのはのときである。以下、で考える。
(1) Px座標が等しいx軸上の点を,点Qx座標が等しいx軸上の点をとおく。の面積の和St で表せば
となる。これよりにおいては、Sは最小値をとる。
次に、
aを満たす定数とする。以下、におけるSの最小・最大について考える。
(i) Sで最小となるようなaの値の範囲は
である。
(ii) Sで最大となるようなaの値の範囲はである。
(2) 3OPQを通る2次関数のグラフが関数のグラフを平行移動したものになるのは、のときであり、x軸方向にy軸方向にだけ平行移動すればよい。
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[3] 点Oを中心とする半径3の円Oと、点Oを通り、点Pを中心とする半径1の円Pを考える。円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をABとする。また、円Oの周上に、点Bと異なる点Cを、弦ACが円Pに接するようにとる。弦ACと円Pの接点をDとする。このとき

である。さらに、であり、である。
の面積はであり、の内接円の半径はである。
(1) Oの周上に、点Eを線分CEが円Oの直径となるようにとる。の内接円の中心をQとし、の内接円の中心をRとする。このとき、である。したがって、内接円Qと内接円R
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 内接する     異なる
2点で交わる
 外接する     共有点を持たない
(2) であるから、となる。
したがって、
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 点
Pは内接円Qの周上にある
 点
Qは円Pの周上にある
 点
Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの内部にある
 点
Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの外部にある
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[4](1) 1から4までの数字を、重複を許して並べてできる4桁の自然数は、全部で個ある。
(2) (1)個の自然数のうちで、1から4までの数字を重複なく使ってできるものは個ある。
(3) (1)個の自然数のうちで、1331のように、異なる二つの数字を2回ずつ使ってできるものの個数を、次の考え方に従って求めよう。
(i) 1から4までの数字から異なる二つを選ぶ。この選び方は通りある。
(ii) (i)で選んだ数字のうち小さい方を、一・十・百・千の位のうち、どの2箇所に置くか決める。置く2箇所の決め方は通りある。小さい方の数字を置く場所を決めると、大きい方の数字を置く場所は残りの2箇所に決まる。
(iii) (i)(ii)により、求める個数は個である。
(4) (1)個の自然数を、それぞれ別々のカードに書く。できた枚のカードから1枚引き、それに書かれた数の四つの数字に応じて、得点を次のように定める。
・四つとも同じ数字のとき       9
2回現れる数字が二つあるとき     3
3回現れる数字が一つと、
1回だけ現れる数字が一つあるとき   2
2回現れる数字が一つと、
1回だけ現れる数字が二つあるとき   1
・数字の重複がないとき        0
(i) 得点が9点となる確率は,得点が3点となる確率はである。
(ii) 得点が2点となる確率は,得点が1点となる確率はである。
(iii) 得点の期待値は点である。
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