複素数の計算    関連問題

虚数単位iは、として定義されます。
ですが、なので、
iの平方根です。
の平方根は、
2次方程式:2解になります。
より、
つまり、の平方根は、
2個あります。
一般に、負数
aの平方根は、2個あります。

正数
aの平方根では、ですが、負数aの平方根では、は言えません。負数の平方根は虚数なので、正負を考えることはできません。
また、負数の平方根同士の積や商の計算には注意が必要です。
のとき、のとき、とはなりません。
例えば、です。


複素数zが、 (abは実数)となるとき、です。
仮にだとすると、となり、虚数単位が実数という矛盾が起きるので、,従って、です。


2つの複素数の間に相等しいという関係があるとき、 (abcdは実数)として、
,つまり、が成り立つとき、
従って、,つまり、かつとなります。
さらに言い換えると、
2つの複素数が等しいと言うことは、2つの複素数の実部と虚部がともに等しいということです。

実数同士であれば、大小関係を考えることができますが、虚数同士、虚数と実数の間で大小関係を考えることはできません。


複素数同士の四則計算では、虚数単位iを文字として扱って計算を行い、が出てきたら、で置き換えます。
(abcdは実数)として、



 

(この操作を分母の実数化と言います)
 
 
のように計算します。
の計算途中に出てくる、という形は複素数の計算でよく出てくる形です。
に対して、と書いて、
w共役複素数と言います(共役複素数を参照)
また、分母の
0以上の実数ですが、を複素数w絶対値と言います。複素数 (abは実数)に対して、です。


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